Άσκηση Πιθανοτήτων 1

Έστω ότι ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και το αποτέλεσμα των ρίψεων είναι Κορώνα και για τις τρεις ρίψεις. Αν ρίξουμε το ζάρι για τέταρτη φορά αληθεύει ότι είναι πιο πιθανό να φέρουμε Γράμματα;

Επαναληπτική Άσκηση 21.

Να αποδείξετε ότι για κάθε a<b \in \mathbb{R} ισχύει ότι:

ln(\dfrac{e^{b}-1}{e^{a}-1})<b-a)

Επαναληπτική άσκηση 20

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g παραγωγίσιμες στο \mathbb{R}, με την f' να είναι 1-1. Αν ισχύει ότι g'(x) \neq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} και οτι οι συναρτήσεις f και f\circ g παρουσιάζουν ακρότατο για x=1, να αποδείξετε ότι g(1)=1.

Επαναληπτική Άσκηση 19.

Έστω f συνάρτηση συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Aν f(a)-f(b)=a^{3}-b^{3} να αποδείξετε ότι υπάρχει x_{0} \in [a,b] τέτοιο ώστε f'(x_{0})=3x_{0}^{2}

Επαναληπτική άσκηση 18

f(z)=\dfrac{iz-1}{z-i}, με z \neq i, τότε:

  1. Iσχύει ότι f(f(z))=z
  2. Αν f(z)=f(\overline{z}) τότε z \in \mathbb{R}
  3. Αν |f(z)|=1 να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών z.
  4. Αν |f(z)|=2 να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών z.
  5. Αν |f(z_{1})|=|f(z_{2})|=2 τότε να αποδείξετε ότι |z_{1}-z_{2}| \leq  \dfrac{8}{3}.

 

Άσκηση μελέτης στους μιγαδικούς.

‘Εστω z οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την σχέση |z-2|=|z+3i|, αφού βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αυτών βρείτε τα εξής:

 

  1. Ποιό σημείο του γεωμετρικού τόπου απέχει λιγότερο από το σημείο (0,0).
  2. Είναι μοναδικό αυτό το σημείο;
  3. Το ερώτημα (1) επιδέχεται τρείς διαφορετικές λύσεις, μια γεωμετρική, μια αλγεβρική και μία αναλυτικής γεωμετρίας. Μπορείτε να καταλάβετε ποιά δώσατε εσείς;
  4. Προσπαθείστε να δώσετε την σειρά των βημάτων που ακολουθήσατε για να λύσετε την άσκηση.
  5. (Το ερώτημα αυτό είναι για τους μαθητές που έλυσαν το ερώτημα με τουλάχιστον δύο τρόπους) Επισημάνετε τις διαφορές και τις ομοιότητες στην μεθοδολογία των λύσεων που χρησιμοποιήσατε.

 

Επαναληπτική άσκηση 17

Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το \mathbb{R} η οποία είναι παντού συνεχής και τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν ισχύει οτι:

  1. f(0)=1
  2. f'(0)=\frac{1}{2}
  3. και f''(x)f(x)+(f'(x))^{2}=f(x)f'(x) για κάθε x \in \mathbb{R}

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.