Μαθηματικά στο Λύκειο

Άσκηση Πιθανοτήτων 1

September 19, 2011 1 Comment

Έστω ότι ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και το αποτέλεσμα των ρίψεων είναι Κορώνα και για τις τρεις ρίψεις. Αν ρίξουμε το ζάρι για τέταρτη φορά αληθεύει ότι είναι πιο πιθανό να φέρουμε Γράμματα;

Filed under Ασκήσεις Πιθανοτήτων Tagged with Ασκήσεις Πρώτης Λυκείου, Ασκήσεις Πιθανοτήτων

Επαναληπτική Άσκηση 21.

September 17, 2011 Leave a comment

Να αποδείξετε ότι για κάθε $a<b \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι:

$ln(\dfrac{e^{b}-1}{e^{a}-1})<b-a)$

Filed under Aσκήσεις Παραγώγων, Eπαναληπτικές Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Ασκήσεις Ανάλυσης, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Θεώρημα Μέσης Τιμής

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g$ παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , με την $f'$ να είναι 1-1. Αν ισχύει ότι $g'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και οτι οι συναρτήσεις $f$ και $f\circ g$ παρουσιάζουν ακρότατο για $x=1$ , να αποδείξετε ότι $g(1)=1$ .

Επαναληπτική Άσκηση 19.

March 18, 2011 2 Comments

Έστω $f$ συνάρτηση συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$ . Aν $f(a)-f(b)=a^{3}-b^{3}$ να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0} \in [a,b]$ τέτοιο ώστε $f'(x_{0})=3x_{0}^{2}$

Filed under Eπαναληπτικές Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Θεώρημα Μέσης Τιμής Tagged with Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Τρίτης Λυκείου, Θεώρημα Μέσης Τιμής

Επαναληπτική άσκηση 18

March 4, 2011 Leave a comment

Aν $f(z)=\dfrac{iz-1}{z-i}$ , με $z \neq i$ , τότε:

Iσχύει ότι $f(f(z))=z$
Αν $f(z)=f(\overline{z})$ τότε $z \in \mathbb{R}$
Αν $|f(z)|=1$ να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών $z$ .
Αν $|f(z)|=2$ να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών $z$ .
Αν $|f(z_{1})|=|f(z_{2})|=2$ τότε να αποδείξετε ότι $|z_{1}-z_{2}| \leq \dfrac{8}{3}$ .

Filed under Eπαναληπτικές Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Ασκήσεις Μιγαδικών, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου Tagged with Ασκήσεις Μιγαδικών, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Τρίτης Λυκείου

Άσκηση μελέτης στους μιγαδικούς.

March 4, 2011 Leave a comment

‘Εστω $z$ οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την σχέση $|z-2|=|z+3i|$ , αφού βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αυτών βρείτε τα εξής:

Ποιό σημείο του γεωμετρικού τόπου απέχει λιγότερο από το σημείο $(0,0)$ .
Είναι μοναδικό αυτό το σημείο;
Το ερώτημα (1) επιδέχεται τρείς διαφορετικές λύσεις, μια γεωμετρική, μια αλγεβρική και μία αναλυτικής γεωμετρίας. Μπορείτε να καταλάβετε ποιά δώσατε εσείς;
Προσπαθείστε να δώσετε την σειρά των βημάτων που ακολουθήσατε για να λύσετε την άσκηση.
(Το ερώτημα αυτό είναι για τους μαθητές που έλυσαν το ερώτημα με τουλάχιστον δύο τρόπους) Επισημάνετε τις διαφορές και τις ομοιότητες στην μεθοδολογία των λύσεων που χρησιμοποιήσατε.

Filed under Eπαναληπτικές Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Ασκήσεις Μιγαδικών, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου Tagged with Ασκήσεις Μαθηματικών Λυεκίου, Ασκήσεις Μιγαδικών, Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Τρίτης Λυκείου

Επαναληπτική άσκηση 17

February 25, 2011 Leave a comment

Έστω μια πραγματική συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$ η οποία είναι παντού συνεχής και τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμη. Αν ισχύει οτι:

$f(0)=1$
$f'(0)=\frac{1}{2}$
και $f''(x)f(x)+(f'(x))^{2}=f(x)f'(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $f$ .

Filed under Aσκήσεις Παραγώγων, Eπαναληπτικές Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Ασκήσεις Ανάλυσης, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Μονοτονία Συναρτήσεων Tagged with Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Τρίτης Λυκείου

Επαναληπτική Άσκηση 16

February 19, 2011 Leave a comment

Έστω ο μιγαδικός αριθμός $z=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}$ με $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Nα αποδείξετε ότι:

Ο $z$ είναι πραγματικός.
Ότι $z=2^{\frac{n}{2}+1}\sigma\upsilon\nu(\frac{\nu\pi}{4})$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Filed under Eπαναληπτικές Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου, Ασκήσεις Μιγαδικών, Ασκήσεις Τρίτης Λυκείου Tagged with Ασκήσεις Μιγαδικών, Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Τρίτης Λυκείου

Επαναληπτική Άσκηση 15

February 19, 2011 Leave a comment

Έστω συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και τέσσερα σημεία της γραφικής της παράστασης $A(a,f(a)), B(\beta,f(\beta)), \Gamma(\gamma,f(\gamma))$ και $\Delta(\delta,f(\delta))$ , με $a < \beta < \gamma < \delta$ . Αν ισχύει ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Β είναι κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από τα Γ και Δ να αποδείξετε ότι: