ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

Στη σελίδα αυτή θα βρίσκονται όλες οι εκφωνήσεις των ασκήσεων, χωρίς όμως την δυνατότητα σχολίων σε κάθε άσκηση. Για σχόλια πλοηγηθείτε στην άσκηση που σας ενδιαφέρει.

 

Επαναληπτική Άσκηση 1

Έστω συνάρτηση f : [a,b] \rightarrow [a,b] συνεχής και παραγωγίσιμη με  f(a)=b και f(b)=a. Δείξτε  οτι υπάρχουν  x_{0} , x_{1} \in [a,b] τέτοια ώστε:

f'(x_{0})f'(x_{1})=1

 

Συνάρτηση και αντίστροφη της.

Δίνεται συναρτηση f ορισμένη σε όλο το \mathbb{R} για την οποία ισχύει f(f(x))=x^{3}. Nα αποδείξετε ότι:

  1. Η συνάρτηση f αντιστρέφεται.
  2. Ισχύει f(f(x))^{3}=f(x^{3});
  3. Nα λυθεί η εξίσωση f(x)=x στο \mathbb{R}.
  4. Οτι f(-1)^{3}+f(1)^{3}=f(0).
  5. f(8)=64 να υπολογίσετε το f(2).

 

Επαναληπτική άσκηση 2.

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο  (0,1), με f(0)=a, a > 0 και f(1)=0. Να αποδείξετε ότι:

  1. Υπάρχει ενα x_{0} \in (0,1) τέτοιο ώστε f(x_{0})=ax_{0}.
  2. Yπάρχουν x_{1},x_{2} \in (0,1) ώστε f'(x_{1})f'(x_{2})=a^{2}.

 

Συνέχεια της επαναληπτικής άσκησης 1.

Έστω συνάρτηση f : [a,b] \rightarrow [a,b] συνεχής και παραγωγίσιμη με  f(a)=b και f(b)=a. Δείξτε  οτι υπάρχουν  x_{2} , x_{3} \in [a,b] τέτοια ώστε:

f'(x_{2})+f'(x_{3})=-2

 

Eπαναληπτική άσκηση 3.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} με τις εξής ιδιότητες:

  1. f(z_{1}+z_{2})=f(z_{1})+f(z_{2}) για κάθε z_{1},z_{2}  \in \mathbb{C}.
  2. f(z_{1}z_{2})=f(z_{1})f(z_{2}) για κάθε z_{1},z_{2}  \in \mathbb{C}.
  3. f(x)=x για κάθε x \in \mathbb{R}.

Να αποδείξετε ότι : f(z)=z ή f(z)=\bar{z} για κάθε z \in \mathbb{C}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: