Ασκήσεις Ολοκληρωμάτων | Μαθηματικά στο Λύκειο

Επαναληπτική άσκηση 12.

April 20, 2010 1 Comment

Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση $f$ στο διάστημα $[0,2\pi]$ με $\int_{0}^{\pi}f(x)dx=2$ . Αν $F$ μια αρχική της $f$ να:

βρεθεί ο αριθμός $F(0)-F(\pi)$ .
αποδειξειτε ότι υπάρχει $x_{0} \in (0,\pi)$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=\eta\mu x_{0}$ .

Αν η $f$ είναι πραγματική συνάρτηση συνεχής σε όλο το $\mathbb{R}$ , να δείξετε ότι η $g(x)=\int_{0}^{1}tf(tx)dt$ είναι συνεχής στο 0.

Έστω $f : [0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη. Αν $f(0)=0$ και $0 < f'(x) < 1$ για κάθε $x > 0$ να δείξετε ότι :

$\int_{0}^{x}f^{3}(t)dt < (\int_{0}^{x}f(t)dt)^{2}$ για κάθε $x > 0$ .

Έστω ${a<b}$ και $f : [0,b-a] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής. Να βρείτε το ολοκλήρωμα $\int_{a}^{b}\frac{f(x-a)}{f(x-a)+f(x-b)}dx$