Επαναληπτική Άσκηση 14.

Έστω συνάρτηση {f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}} συνεχής,τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμη, γνησίως αύξουσα και με {f(1)=0}. Αν ισχύει ότι :

{f(f'(x))+f(x)=0} για κάθε {x >0}

Αποδείξτε τα εξής:

  1. {f'(1)=1}
  2. {f'\circ f'(x)=x} για κάθε {x >0}
  3. {xf''(x)+f'(x)=0} για κάθε {x >0}
  4. {f(x)= \ln x} για κάθε {x >0}

One Response to Επαναληπτική Άσκηση 14.

  1. tsifakis xristos says:

    i)για x =1 έχουμε ότι f(f ‘(1))+f(1)=0 δηλ f(f ‘(1))=0 και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα f ‘(1)=1
    ii) για x = f ‘(x) έχουμε f(f ‘(f ‘(x))) + f(f ‘(x)) = 0 δηλαδή f(f ‘(f ‘(x))) = f(x)
    αφού η f είναι 1-1 έχουμε f ‘(f ‘(x)) = x
    iii) παραγωγίζουμε την (1) και έχουμε f ‘ (f ‘(x)) f ”(x) + f ‘ (x) = 0 άρα x f ”(x)+ f ‘(x) = 0
    iv) x f ”(x)+ f ‘(x) = 0 ισοδύναμα (xf ‘(x)) ‘ = (c) ‘ ισοδύναμα xf ‘(x) = c για κάθε x > 0.
    Αφού f ‘(1)=1 τότε c =1 άρα f ‘(x)= 1/x και τελικά f(x) = lnx

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: