Επαναληπτική άσκηση 7.

Δίνεται συνάρτηση f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}, δύο φορές παραγωγίσιμη με f(a)=f(b)=0 και f(x) > 0 για κάθε x \in (a,b). Να αποδείξετε ότι υπαρχει ένα x_{0} \in (a,b) με f''(x_{0}) \leq 0.

One Response to Επαναληπτική άσκηση 7.

  1. nancy says:

    έστω γ ανήκει στο (α,β).
    f συνεχής στο [α,γ], παραγωγίσιμη στο (α,γ). Από ΘΜΤ, υπάρχει ξ1 στο (α,γ) ώστε f'(ξ1)=[f(γ)-f(α)]/(γ-α)=f(γ)/(γ-α) >0
    f συνεχής στο [γ,β], παραγωγίσιμη στο (γ,β). Από ΘΜΤ, υπάρχει ξ2 στο (γ,β) ώστε f'(ξ2)=[f(β)-f(γ)]/(β-γ)=-f(γ)/(γ-α) <0
    f' συνεχής στο [ξ1,ξ2], παραγωγίσιμη στο (ξ1,ξ2). Από ΘΜΤ, υπάρχει x0 στο (ξ1,ξ2) ώστε f''(x0)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)<0

    ( Ερώτημα: το = από πού προκύπτει..;;)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: