Επαναληπτική άσκηση 2.

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο  (0,1), με f(0)=a, a > 0 και f(1)=0. Να αποδείξετε ότι:

  1. Υπάρχει ενα x_{0} \in (0,1) τέτοιο ώστε f(x_{0})=ax_{0}.
  2. Yπάρχουν x_{1},x_{2} \in (0,1) ώστε f'(x_{1})f'(x_{2})=a^{2}.

5 Responses to Επαναληπτική άσκηση 2.

  1. Kercyn says:

    Θεωρώ g(x)=f(x)-ax

    Η g είναι συνεχής στο [0,1] ως πράξεις συνεχών
    g(0) = a
    g(1) = -a
    g(0)g(1) < 0

    Άρα, από Θ. Bolzano \exists x_{0} \in (0,1) : g(x_{0})=0 \Leftrightarrow f(x_{0})-ax_{0}=0 \Leftrightarrow f(x_{0})=ax_{0}

    Αυτό για το πρώτο ερώτημα. Το δεύτερο θα το κοιτάξω αργότερα🙂

  2. Kercyn says:

    ΟυαΑαΑαΑ το LaTeX δεν δουλεύει Τ_Τ
    Για να δοκιμάσουμε HTML tagZ…

    f

    συνεχής στο

    [0,x_{0}]

    ως παραγωγίσιμη

    f

    παραγωγίσιμη στο

    (0,x_{0})

    Άρα από θου Μου Του \exists x_{1} \in (0,x_{0}):f'(x_{1})= \frac {f(x_{0}) - f(0)}{x_{0}} = ... = \frac {a(x_{0}-1)}{x_{0}} (1)

    f

    συνεχής στο

    [x_{0},1]

    ως παραγωγίσιμη

    f

    παραγωγίσιμη στο

    (x_{0},1)

    Άρα από θου Μου Του \exists x_{2} \in (x_{0},1):f'(x_{2})= \frac {f(1) - f(x_{0})}{1-x_{0}} = ... = \frac {ax_{0}}{x_{0}-1} (2)

    Αν πολλαπλασιάσουμε τις (1) και (2), θα πάρουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα, δηλαδή το

    a^2

    Τα έκανα λίγο γρήγορα λόγω του ότι δεν είμαι σίγουρος αν θα δέχεται τα HTML tags:/

  3. Kercyn says:

    Προφανώς δεν τα δέχεται ούτε αυτά Τ_Τ
    Συγγνώμη για το μπέρδεμα, ελπίζω να βγαίνει νόημα.

  4. Σωστή πρέπει να είναι αν καταλάβα σωστά από το latex. To πρώτο σιγουρα είναι σωστο, όπως και το δεύτερο.
    Εγώ άλλαξα των κώδικα για να φαίνεται κανονικά αν θες να διορθώσω κατι μου το λές.

  5. Kercyn says:

    Ααα, τώρα φαίνεται καλύτερα. Ευχαριστώ🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: