Σημεία και ευθείες.

Έστω Α και Β δύο σημεία του επιπέδου και μια ευθεία ε. Αν Μ είναι σημείο της ευθείας τότε:

  1. Πότε το (MA)+(MB) γίνεται ελάχιστο;
  2. Πότε το (MA)^{2}+(MB)^{2} γίνεται ελάχιστο;

4 Responses to Σημεία και ευθείες.

  1. aktorion says:

    Το Μ είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
    Οπότε ΜΑ+ΜΒ=ΑΒ που είναι σταθερό οπότε γίνεται ελάχιστο οπουδήποτε και να πάρουμε το Μ μιας και ειναι σταθερό.

    Για το 2 κάνουμε την απλή σκέψη: Έστω ΜΑ=χ τότε ΜΒ=ΑΒ-χ.
    f(χ)=ΜΑ^2 + ΜΒ^2 = χ^2 + ( ΑΒ -χ )^2 = χ^2 + ΑΒ^2 + χ^2 -2*ΑΒ*χ = 2χ^2 + ΑΒ^2 -2*ΑΒ*χ
    f'(χ)=4χ-2ΑΒ
    Για να βρούμε πότε έχει μέγιστο η f(χ) ελέγχουμε που μηδενιζεται η f'(χ) στο διάστημα [0,ΑΒ] ΚΑΘΩΣ ΕΠΙΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΚΡΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ 0 και ΑΒ.
    f'(χ)=0 4χ=2ΑΒχ=ΑΒ/2 που είναι το μέσον του τμήματος.

    Αν το αντικαταστήσουμε στην f(x) το ΑΒ/2 παρατηρουμε ότι είναι μικρότερο και απο το f(0) και απο το f(AB) οπότε το μέσον του τμήματος είναι η απάντηση στο 2.

  2. Και στις δύο απαντήσεις σου έχεις υποθέσει οτι τα Μ,Α και Β είναι συνευθειακα το οποίο είναι λάθος σαν υπόθεση. Η ευθεία ε στην οποία ανήκει το Μ δεν είναι αναγκαίο να τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μεταξύ των Α και Β (αυτό υποθέτεις στο 1). Μαλιστα στο 1 έχεις δεχθεί ότι το Μ είναι σημειο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, κατι το οποίο είναι αυθαίρετο.

  3. Nancy!! says:

    Για το 1:
    Αν το Μ δεν είναι στην ευθεία που διέρχεται από τα Α,Β τότε από τριγωνική ανισότητα ισχύει ότι ΑΜ+ΒΜ>ΑΒ.
    Αν το Μ βρίσκεται μεταξύ των Α,Β τότε ΑΜ+ΒΜ=ΑΒ.
    Αν το Μ είναι στην ευθεία που διέρχεται από τα Α,Β εκτός των σημείων Α και Β, τότε ΑΜ+ΜΒ>ΑΒ.

    άρα η θέση του Μ πρέπει να είναι μεταξύ των Α και Β.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: